解决最值问题的利器——垂线段最短
在八年级数学平行四边形这一章学习中，最值问题是个难点，在没有学习二次函数之前，围绕着“最”，通常需要两个几何定理，其一是两点之间，线段最短，其二是垂线段最短，还可以利用三角形三边数量关系进行，当然它本质上也是两点之间线段最短。
当然，这道题放在九年级复习，可解决的办法更多，但不推荐使用超前知识来解答，后面反思中会详细提到。那么首先我们来看一道八年级数学动点导致的面积最值问题。
题目
如图，在平面直角坐标系中，正方形oabc的边长为4，且a点在y轴正半轴上，c点在x轴上，d点是x轴正半轴上一个动点，od长为2a，以od为对角线作正方形oedf，连接bd并取bd中点m，am交x轴于n点.
(1)n点坐标是_____________(用含a的代数式表示)；
(2)求fn：em的值；
(3)当△emn面积最小时，求a的值.
解析：
(1)分析点n的形成，它是由am延长后与x轴相交产生，因此观察点m，发现它是中点，于是很容易找到一对全等三角形，△abm和△ndm，所以可以证明dn=ab=4，于是on=2a-4，于是得到点n坐标为(2a-4,0)；
(2)在八年级阶段求线段比值，通常突破口不容易找到，但是题目条件中其实给了不少暗示，例如正方形，例如等腰三角形，咦？△emn，是不是很像等腰三角形呢？
猜归猜，用数学推理说话才是正道，那咱们就上路吧！
以点e为旋转中心，eo=ed，那么en的对应边又在哪里呢？不难想到连接ae，如下图：
由正方形oedf得到eo=ed，∠oed=90°，由正方形oabc得到oa=ab，再用前一小题中的△abm≌△dnm得到ab=dn，于是等量转换顺利得到oa=dn，再加上∠aoe=∠nde=45°，用sas判断△aoe≌△nde，从而证明了ae=ne，∠aeo=∠ned，而∠ned ∠oen=90°，于是∠aeo=∠oen=90°，即∠aen=90°，得到等腰rt△aen，前面也提到点m是中点，因此△emn是等腰三角形，所以fn：em=√2；
(3)这是本题重点也是难点，△emn的面积随着点d带动点n变化而变化，但我们可以看到，△emn本身是个特殊三角形，它的面积与其边长有关联，即面积最值可转化成线段最值问题，于是我们学过的两个定理：两点之间，线段最短和垂线段最短便能派上用场了。
到底该用哪个呢？
观察线段的变化，如果两个端点都在变化，其实是不利于观察的，在△emn中，恰恰所有顶点都在变化，设置了障碍，但回到最初求n点坐标时的思路，观察线段an，由于m是中点，所以mn的长度与an的长度变化是同步的，对于线段an来讲，端点a是确定的，点n又在x轴上，即线段一端固定，另一端在直线上，这不就是点到直线的距离最短的案例吗？
所以当an⊥x轴时，an最短，连带mn最短，得到△emn面积最小。
结合前面的探究，ab=dn，而dn和do重合，于是2a=4，求得a=2.
解题反思：
解完之后会感觉，这道题并不难嘛！的确，在想到思路之前，的确很难，想到之后，行云流水。
那么解题的思路究竟如何更有效率地寻找？答案只有一个，那就是审题，说起来简单，但做起来很难。学生平时学习，积累了大量解题经验，这些经验要用于某道具体题目，相当于大数据匹配，读题时，触发思维线，思维线织成网，最终网住结论这条鱼。
在实际教学中，我发现有学生提前学习了后面知识，例如用一次函数求解析式，再构造二次函数求最值，当然也很容易，坐标系内的问题，用解析法再容易不过。
只是解析法解此类题，容易上瘾，再也不会去思考几何直观，甚至再遇到这类几何问题，建系解决问题成为首选，这可不是八年级学习几何的目的！曾经在九年级复习课中，讲一道压轴题，有多种方法，几何法非常巧妙，也简单，但不少学生却执迷于解析法，虽然最终通过复杂的计算也能得到，但费时费力，更糟糕的是，他们在用解析法完成之后，对几何法的讲解不屑一顾，课堂上甚至开起了小差，因此不禁在想，超前学习到底是帮他们还是害他们？
我认为，每个阶段有每个阶段的教学目标，学生不宜超前学习，这次教育部出台规范培训机构的文件，也提到这一点，所以平时的学习，必须按部就班，遵照学生思维成长规律，不可拔苗助长。
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